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--- study:math:start [2020/05/08 11:39] – [数学] yuuho
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 ==== 射影幾何メモ ====
-| great circle | 大円 | 球面上で，球の中心を通るような円 |
+| great circle | 大円 | 球面上で，球の中心を通るような円\\ つまり球面と，球の中心をとおる平面の交差する円状の線 |
+二次元ユークリッド空間を同次座標系で表した空間を考える．
+これは三次元空間である．
+ここでは二次元ユークリッド空間上のある点は直線として表される．
+$(kx,ky,k)$ で表される．つまり二次元ユークリッド空間上の全ての点は，
+同次座標系では原点をとおる直線である．
+二次元ユークリッド空間上の全ての点を同次座標系での直線として表現し，同次空間上の単位球と交差させてみる．
+全ての点は単位球と2つの交点を持っているはず(しかも球の真反対側に)．
+つまり，この単位球をどこの方角から見ても全ての二次元ユークリッド空間中の点が見えるということ．
+なので，この同次座標系空間を適当にぶった切る平面には全ての二次元ユークリッド空間上の点が乗るはずである．(原点をとおる直線と交差するから)
+さらに，この同次座標系空間をぶった切る平面として $w=1$ つまり通常の二次元ユークリッド空間といえる平面を選ぶ．
+すると，無限遠点というのはその平面側から単位球を見て，ちょうど輪郭に当たる部分(大円)に散りばめられているはずである．
+無限遠点の性質として常に $w=0$ となる点であることが考えられる．
+これはつまり地球で言うところの赤道のこと．
 二次元ユークリッド空間を同次座標系で表したユークリッド平面がある．
 このユークリッド平面上の二つの平行線を単位球に投影すると，
 無限遠点はともにxy平面上に投影され，単位球の大円となる．
+同じように二次元ユークリッド空間上の直線、つまり点の集合を，
+同次座標系上の単位円に投影してみると大円になるし，実体としては同次座標系空間中で平面である．
+つまり，二次元ユークリッド空間での直線は同次座標系空間での平面である．
+平面が直線であることから重要なことがわかる．
+無限遠点を単位球に投影したら赤道にあることから，
+無限遠点は単位球と $w=0$ 平面との交差する場所であり，
+つまり平面をなすので，二次元ユークリッド空間上では直線状に並んでいると言えるのだ．
+これ(赤道)を無限遠直線と呼んでいる．
+=== 2 ===
 行列が正則でないとき，変換後は何らかの情報が失われてしまい，
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 放物線は円錐の母線に平行な断面のとき．
 (厳密に言えば円錐の側面のある点pから中心に向かう直線に対して垂直かつ点pを通る母線に平行．)
+==== 交差判定 ====
+Multiple View Geometry 参考
+=== 二次元 ===
+**二点を通る直線について**
+${\bf l} = {\bf x}_1 \times {\bf x}_2$
+**交差判定について**
+直線は ${\bf l} = (a,b,c)^\top$ として表す．\\
+この直線は $ax+by+c=0$ を満たす．
+$k\neq 0$ を使って ${\bf l} = k (a,b,c)^\top$ と表しても良い．
+つまり，定数倍に対して同じものである．
+この式は $(x,y,1)$ を用いて $(x,y,1)(a,b,c)^\top=0$ とも表現できる．
+座標に関しても，これは同時座標なので
+$k\neq 0$ を使って $(kx,ky,k)$ と表せる．
+さて二つの直線の交点 ${\bf x}$ だがこれは外積 $\times$ を使って簡単に表せる．\\
+${\bf x} = {\bf l}_1 \times {\bf l}_2$
+同次座標系なので最後の要素で全てを割ることで詳細な数値が分かる．
+これを使えば ${\bf l}$ に定数が掛けられていようが無視できる．
+無限遠で交差する場合(平行のとき)は同次座標の最終要素が0となっている．
+==== メモ ====
+平行四辺形と台形の座標変換の違い
+{{:study:math:img_0043.jpeg?400|}}
 ===== 確率 =====
 **尤度関数と確率密度関数は別物**\\
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 目的の形に地形を整える場合，どこからどういうふうに土を運ぶのが最も仕事量が少ないかを計算する．
+==== Binary Cross Entropy ====
+事象が二つの離散確率分布 $p$ と $q$ がある。
+交差エントロピーの定義から
+$$H(p,q) = E_p[-\log q] = \sum_{x\in \{0,1\}} \left( -p(x) \log q(x) \right) = -p(0) \log q(0) - p(1) \log q(1) $$
+分布 $p$ のほうを正解とすると、\\
+半端な値ではなく、二値のどちらかが正解となるので、\\
+$p(0)=0, p(1)=1$ となるか $p(0)=1, p(1)=0$ となる。\\
+したがって $H(p,q)$ は $-\log q(0)$ または $-\log q(1)$ となる。
+分布 $q$ のほうはニューラルネットの出力値である。\\
+分布の和が $1$ であることから $q(0) = 1-q(1)$ の関係にある。\\
+なので結局 $H(p,q)$ は $-\log (1- q(1))$ または $-\log q(1)$ になることとなる。
+ここで $p=0$ を $p(0)=1, p(1)=0$ のこととし、\\
+$p=1$ を $p(0)=0, p(1)=1$ のこととする。\\
+同様に$q=0$ を $q(0)=1, q(1)=0$ のこととし、\\
+$q=1$ を $q(0)=0, q(1)=1$ のこととする。\\
+こうすると $H(p,q) = - (1-p) \log (1-q) - p \log q $ となり、\\
+${\rm bce}(q,0) = -\log(1-q)$ 、 ${\rm bce}(q,1) = -\log(q)$ と一致する。
+==== Cross Entropy ====
+本来の交差エントロピーは離散確率変数のとき
+$$ H(p,q) = -\sum_x p(x) \log q(x) $$ である。
+結合エントロピーでも $H(p,q)$ という表記になるので注意(別物)。
 ===== 最適化 =====
 | optimal point | 最適点 (最適解となる点) |